ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

   

 นิยามของความเท่ากันทุกประการ
     1. รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี
     2. ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากันทุกประการ เมื่อส่วนของเส้นตรงนั้นยาวเท่ากัน
     3. มุมสองมุมจะเท่ากันทุกประการ เมื่อมุมทั้งสองมุมมีขนาดเท่ากัน
 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
 นิยาม รูปสามเหลี่ยม ABC คือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามเส้น , และ เชื่อมต่อจุด A,B และ C  ว่าจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC
 รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ
 ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ
     1. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-มุม-ด้าน(ด.ม.ด.)
 นิยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน  เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ
     2. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบมุม-ด้าน-มุม(ม.ด.ม.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่  และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันด้วยแล้ว  รูปสามเหลี่ยมสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ
     3. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-ด้าน-ด้าน(ด.ด.ด.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ


ที่มา : http://blog.eduzones.com/nuknik45/32511

การคูณทศนิยม

      1.การคูณทศนิยมที่เป็นบวกมีวิธีเช่นเดียวกันกับการคูณจำนวนเต็มบวกแล้วใส่จุดทศนิยมให้ถูกที่ คือ ถ้าตัวตั้งเป็นทศนิยมที่มี a ตำแหน่งตัวคูณเป็นทศนิยมที่มี b ตำแหน่ง ผลคูณจะเป็นทศนิยมที่มี a + b ตำแหน่ง
      2.การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นบวกและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
      3.การคูณทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบจะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นบวกและมี่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
      4.การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นลบจะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นลบและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
ตัวอย่าง 1.การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก
ตัวอย่าง   จงหาผลคูณ 1.7 x 2.5
                         วิธีทำ                   17  x
                                                     25
                                                     85  +
                                                     34
                                                   425
                               ดังนั้น 1.7 x 2.5 = 4.25
                         ตอบ     ๔.๒๕ 
2. การคูณทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ
ตัวอย่าง    จงหาผลคูณ (-1.08) x (-2.7)
                       วิธีทำ                    108  x
                                                      27
                                                    756  +
                                                    216
                                                  2916
                              ดังนั้น (-1.08) x (-2.7) = 2.916
                         ตอบ     ๒.๙๑๖
3. การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นลบ
ตัวอย่าง   จงหาผลคูณ 30.2 x (-6.81)
                           วิธีทำ                     302  x
                                                         681
                                                         302  + 
                                                        2416  + 
                                                        1812
                                                      205662
                               ดังนั้น 30.2 x (-6.81) = -205.662 
                         ตอบ     -๒o๕.๖๖๒
4.การคูณทศนิยมที่ใช้สมบัติการแจกแจง
ตัวอย่าง  จงหาผลลัพธ์      [(-6.3) x 17.45] + [(-6.3) x (16.45)]
วิธีทำ [(-6.3) x 17.45] + [(-6.3) x (-16.45)]  =  (-6.3) x [17.45 + (-16.45)]
                                                                     = (-6.3) x1 = -6.3
                                ตอบ    -๖.๓       

   ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/utaradit/srinuan-s/sec04p01.html 

พื้นที่ผิวและปริมาตร

1. การเรียกชื่อปริซึม                    

ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน               

 2. ส่วนประกอบของปริซึม        

            

                                        

     3. พื้นที่ผิวของปริซึม               
      3.1) พื้นที่ผิวข้าง                
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง           
      3.2) พื้นที่ผิว           
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย                                        
    4. ปริมาตรของปริซึม              
          ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

      1. ส่วนประกอบของทรงกระบอก

(ซ้าย คือ ทรงกระบอกตรง, ขวา คือ ทรงกระบอกเอียง)

ทรงกระบอกกลวง

2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

2.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป

อธิบายภาพเพิ่มเติม

1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh

2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = ¶r²
2.2) พื้นที่ผิว

            พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r²)

                           เมื่อ  r  แทนรัศมีของฐานและ  h  แทนความสูงทรงกระบอก

3. ปริมาตรของทรงกระบอก

                           ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง
         4. พื้นที่ผิวของพีระมิด              
              4.1) พื้นที่ผิวข้าง             
                                 

                                          

                    เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป                    

                                        

                    

           พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน) หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง                    

                    จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง              
ดังนั้น  สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง                       

             * ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า) จะได้ว่า             พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง                                       

         พิสูจน์                     
       พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด             

                    =  พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน                    

                    = (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จำนวนด้านของฐาน ---- จำนวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของฐาน                    

                    = (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน                    

                    = ½ × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง                    

                    ↓                    

                    = ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง                    

                    ซตพ.                    

        4.2) พื้นที่ผิว              
     พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด                    

 ดังนั้น   พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน              

                    สรุป                                                                                                                   1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดและพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด             
 2)  สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง  
 3)  ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)              
      พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง                     4)  สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
ทรงกลม

ปริมาตร 4/3 x  ¶r³พื้นที่ผิว  4/3 x ¶r²                

ที่มา : http://www.mindmap4u.com/edu/read-htm-tid-31.html

การบวกและการลบเลขฐานสอง

หลักการบวก

1. ให้บวกตามปกติเหมือนเลขฐานสิบ  

2.  ถ้าผลบวกที่ได้มีค่าไม่เกินค่าเลขฐานนั้นๆ ให้ใส่ผลลัพธ์ได้เลย

3.  ถ้าผลบวกที่ได้มีค่าเกินค่าเลขฐานนั้นๆ ให้เปลี่ยนผลลัพธ์ที่ได้เป็นเลขฐานนั้นๆ แล้วใส่ LSB หรือ LSD เป็นผลลัพธ์ ส่วนที่เหลือจะเป็นตัวทด

4.   กรณีที่มีตัวทดให้เปลี่ยนตัวทดเป็นเลขฐานสิบแล้วจึงเริ่มทำข้อ 1 และทำไปเรื่อยๆ จนหมดทุกหลัก

ตัวอย่างที่           (1101)₂ +  (1011)₂ =  (……..)₂

วิธีทำ                      1101 +

                                1011

ตอบ                   (11000) ₂

อธิบาย    1.  1+1                                  = (2) ₁₀                = (10) ₂  ใส่ 0  ทดไป 1

                 2.  0+1+1(ตัวทด)                = (2) ₁₀                = (10) ₂  ใส่ 0  ทดไป 1

                 3.  1+0+1(ตัวทด)                = (2) ₁₀                = (10) ₂  ใส่ 0  ทดไป 1

                 4.  1+1+1(ตัวทด)                = (3) ₁₀                = (11) ₂  ใส่ 11

การลบเลขฐาน       

         การลบเลขไม่ว่าจะเป็นเลขฐานอะไรก็แล้วแต่ มีหลักการเหมือนกัน

        กรณีตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบ การลบกันก็ต้องมีตัวยืม โดยการยืมตัวถัดไป การยืมแต่ละครั้งมีหลักเกณฑ์คือ ให้ยืมตัวหน้ามา 1 ตัว ที่ให้ยืมไปมีค่าลดลงไป 1 ค่า 1 ที่ยืมมานั้น จะมีค่เท่ากับค่าของฐานเลขนั้น (เช่น เลขฐานสิบ 1 ที่ยืมมาจะมีค่าเท่ากับ 10 เลขฐานสอง ค่า 1 ที่ยืมมาจะมีค่าเท่ากับ 2 เลขฐานแปด ค่า 1 ที่ยืมมามีค่าเท่ากับ 8 เลขฐานสิบหก ค่า 1 ที่ยืมมาจะมีค่าเท่ากับ 16 เป็นต้น) ให้นำไปบวกกับตัวยืม ได้เท่าไรก็นำตัวลบมาลบออก ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ตามต้องการ
การลบกันของตัวเลข

                    0 - 0   =   0

                    0 - 1  =    1 ต้องยืมมา 1

                    1 - 0  =    1

                    1 - 1  =    0 

 ตัวอย่าง

                            10110

                                      -

                            01010 

                          011002 
การลบเลขฐานสอง

                          11011001                                                                                    

                                        -                                                                  

                          10101011                                                            

                          001011102     

ที่มา : http://blog.eduzones.com/praphawan/32082


         

เซต (Set)

เซต เป็นสัญลักษณ์ในภาษาคณิตศาสตร์ ใช้แทนกลุ่มของคนืสิ่งของ หรือตัวเลขต่างๆ

ลักษณะทั่วไปของเซต

เซต สามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ

1. แบบแจกแจงสมาชิก เช่น {1,2,3}

2. แบบบอกเงื่อนไขสมาชิก เช่น {x | x = 2n ; n = 1,2,3, …}

และเซต แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ

1.เซตจำกัด      คือ       เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้   

2.เซตอนันต์      คือ       เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกที่แน่นอนได้   

เซตที่มีบทบาทที่ควรรู้จัก     คือ               

1. เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เป็นเซตจำกัด เขียนแทนด้วย f หรือ { }   

2. เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ใหญ่ที่สุด เขียนแทนด้วย  U เอกภพสัมพัทธ์จะเป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์ก็ได้  ขึ้น อยู่กับโจทย์  กำหมดมาให้  ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดมาให้  ถือว่า เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

การเปรียบเทียบระหว่างเซต

A Î B    อ่านว่า    A เป็นสมาชิกของเซต B ก็ต่อเมื่อ A จะต้องเป็นสมาชิกตัวหนึ่งตัวใดในเซต B   

A Ì B     อ่านว่า    เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกภายในเซต A ทุกตัว จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B  

ข้อสังเกต 

      1. ถ้า  A Î B  แล้ว A จะเป็นเซตหรือไม่ก็ได้  ส่วน B ต้องเป็นเซต

2. ถ้า  A Ì B  แล้ว  ทั้ง A และ B ต้องเป็นเซตทั้งคู่

3. ถ้า  A Î B  แล้ว {A} Ì B

4.  ถ้า A เป็นเซตจำกัด  และมีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตได้เท่ากับ 2ⁿ เซต

สมบัติของสับเซต โดยที่ A,B เป็นเซตใดๆ

1. f Ì A และ A Ì A  เสมอ

2. A = B  ก็ต่อเมื่อ A Ì B และ B Ì A

3. A Ì B ก็ต่อเมื่อ  B' Ì A'

4. ถ้า A Ì B และ B Ì C แล้ว A Ì C

การสร้างสับเซตของเซตที่ทราบจำนวนสมาชิก

A มีสมาชิก n  ตัว  สร้างสับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก r ตัว  ได้ ⁿC_r  สับเซต   เช่น  ถ้า A={1,2,3,4,5} ต้องการ สับเซตของ A ที่มีจำนวน สมาชิก  2 ตัว  เราก็จะได้  {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},…,{4,5} แบบนี้  ถ้าเรานับก็จะได้  ...  (เท่านั้นแหละ  ลองเขียนดู)  มาเรามาใช้สูตรกัน  ⁵C₂ ก็จะได้ 30 จำนวน  นั่นเอง

1.การเท่ากันของเซต     เซตที่เท่ากันต้องมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว    

2.การเทียบเท่าของเซต      เซตที่เทียบเท่ากัน  จะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน    

การเป็นสมาชิก (Î)  และเป็นสับเซต (Ì)

 เพาเวอร์เซต (Power Set)  P(A) อ่านว่า เพาเวอร์เซต A 

          P(A) หมายถึง เซตของสับเซตทั้งหมดของ A    นั่นคือ    P(A) = {X | X Ì A} หรือ X Ì P(A) ก็ต่อเมื่อ X Ì A

 สมบัติของเพาเวอร์เซต โดยที่ A,B เป็นเซตใดๆ

1.      ถ้า A เป็นเซตจำกัด และมีสมาชิก n ตัว  จะได้ P(A) เป็นเซตจำกัดมี จำนวน สมาชิก 2ⁿ ตัว

2.      X Î P(A)  ก็ต่อเมื่อ  X Ì A จึงทำให้  f Î P(A) และ A Î P(A)

3.      P(A) ¹ f โดยที่ P(f) = {f} และ P(A) ¹ A

      4.           A Ì B ก็ต่อเมื่อ P(A) Î P(B)

5.      P(A) Ç P(B) = P(A Ç B)

6.      P(A) È P(B) Ì P(A È B)

ที่มา : http://greetinghow.tripod.com/set.htm

การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

  โดเมนของฟังก์ชัน f  คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน f  เขียนแทนด้วย
    เรนจ์ของฟังก์ชัน f คือ เซตของสมาชิกตังหลังของคู่อันดับใน f เขียนแทนด้วย

           ตัวอย่าง1 กำหนดให้ f = {(2, 3), (4, 5), (6, 7), (8, 9)} จงหา และ
              วิธีทำ       = {2, 4, 6, 8}
                                                  = {3, 5, 7, 9}

           ตัวอย่าง2 กำหนดให้ f = {(x, y)/ y = }จงหา และ

                วิธีทำ การหาโดเมน ต้องพิจารณาว่า x เป็นจำนวนใดได้บ้าง และ x เป็นจำนวนใดแล้วหาค่า

                                                 y ไม่ได้
                           พิจารณาจาก สมการ    y =    พบว่า

                                                   x  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ยกเว้น -2   เพราะจำทำให้ส่วนเป็น  0                                            
                                            ดังนั้น   = {x/x -2} = R - {-2}

                              การหาเรนจ์ จัดสมการให้อยู่ในรูป x = เทอมของ  y
                                                                       

                                                                  y(x + 2) = x + 3     
                                                                   yx + 2y  = x + 3
                                                                   yx - x   = 3 - 2y
                                                                  x(y - 1) = 3 - 2y
                                                                           x =
                          การหาเรนจ์ ต้องพิจารณาว่า y เป็นจำนวนใดได้บ้าง
                                             และ y เป็นจำนวนใดแล้ว x หาค่าไม่ได้

                          พิจารณาจากสมการ x =  พบว่า
                                            y เป็นจำนวนจริงใด ๆ ยกเว้น 1 เพราะจะทำให้ส่วนเป็น 0
                                           ดังนั้น = {y/y 1 } = R - {1}

              ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ r= {(x,y) I x I | y =x²} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r

                     วิธีทำ  เนื่องจาก r เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจำนวนเต็มและจำนวนเต็มใด ๆ

                                ไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ หรือศูนย์ก็ตาม สามารถนำมายกกำลังสองได้ทั้งสิ้น

                                ดังนั้น D_r ={x | x เป็นจำนวนเต็ม}

                            จำนวนเต็มใด ๆ เมื่อนำมายกกำลังสองแล้วผลที่ ่ได้ออกมาจะเป็นจำนวนบวกเสมอ นอกจากศูนย์ซึ่งยกกำลังสองแล้วได้ศูนย์

                          ดังนั้น R_f ={y | y เป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ หรือศูนย์ }

ที่มา : http://school.obec.go.th/thongthanee/eit/domain.htm

ฟังก์ชันลอการิทึม

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป

              Exponential :
              Log              :             

นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ

             จึงสรุปได้ว่า ตัวเลขหลัง ต้องเป็นจำนวนจริงบวก
                                 ฐานของต้องเป็นเลขจำนวนจริงบวก แต่ไม่เป็น 1
                                 ค่าของคือ y เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนจริงลบ หรือศูนย์ก็ได้

             " " อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ลอกเอ็กซ์ฐานเอ” " loga"

             เนื่องจาก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น  จึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย

เงื่อนไข : ฐานล็อก คือ มากกว่า 0 , ไม่เท่ากับ 1 หลังล็อก คือ มากกว่า 0
                                      1.     ก็ต่อเมื่อ    โดย    และ    และ  
                                      2.     และ    เมื่อ  
                                      3.   
                                      4.   
                                      5.   
                                      6.     โดยทั่วไปนิยมเปลี่ยนเป็นฐาน 10
                                      7.   
                                      8.   
                                      9.   
                                      10.

 จากฟังก์ชันลอการิทึม      มีความหมายเหมือนกับ         ดังนั้นกราฟของ จึงมีได้ 2 ลักษณะ คือ
                 1.กราฟฟังก์ชัน ;
                 2.กราฟฟังก์ชัน ;

ที่มา :  http://www.snr.ac.th/m5html/suwapich/log/content.htm