การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต (Differentiation Algebraic Function)

ฟังก์ชันพีชคณิต      (Algebraic   Function)   หมายถึงฟังก์ชันลักษณะ

 y   =    
   เมื่อ  n  เป็นจำนวนจริง              
กฎข้อที่  1  เมื่อ   y =   c   เมื่อ c   เป็นตัวคงที่    จะได้ว่า         =    0   
กฎข้อที่  2   เมื่อ   y  =  x  จะได้ว่า        
กฎข้อที่  3   เมื่อ  y  =  c f (x)  และ c  เป็นตัวคงที่  จะได้ว่า  
กฎข้อที่  4   เมื่อ u,v,w เป็นฟังก์ชันของx
               จะได้ว่า
กฎข้อที่  5   เมื่อ y  เป็นฟังก์ชันของ    เมื่อ n เป็นจำนวนตรรภยะ
                จะได้ว่า   =
กฎข้อที่ 6   อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
               ถ้า  y = f (x)  g(x)     เมื่อ f (x)  และ  g(x)  เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา
              f '(x)  และ g '(x) ได้   แล้ว     =   f (x) g '(x) + f '(x)   g(x)
กฎข้อที่ 7   อนุพันธ์ของผลหารณของฟังก์ชัน
              ถ้า y =   โดยที่  f(x)  และ g(x)  เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา
              f '(x)  และ   g '(x)   ได้   และ    g(x)       0    แล้ว
                  =  
กฎข้อที่   8     กฎลูกโซ่  (chain   rule )
                  ถ้า   y   =    f    เมื่อ   n   เป็นจำนวนตรรภยะ  และ
                  f(x)   เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา    f '(x)    ได้   แล้ว
                      =     n     f '(x)

ตัวอย่างการนำกฎดังกล่าวไปใช้หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน
1)  กำหนดให้               y    =      8        
               จะได้           =      0      

      
2)  กำหนดให้      y  =   5x       
       จะได้          =       =    5       =    5      

3)  กำหนดให้      y  =            
         จะได้          =          =    8      
4)  กำหนดให้      y   =          
        จะได้            =                                     =         =                                 =     

5)  กำหนดให้   y = 3  - 2 + 6x -19    จงหา              

       =         -        +       -    
            =            -         +         -    0
            =     3 (3 )   -  2 ( 2x )   +   6  
            =    9    -   4 x  +  6

6)    ถ้ากำหนด     y   =   (x+3) (2x -3)     จงหา    
      y      =    (x+3) (2x -3)  
       =     f (x)   g '(x)   +   f '(x)     g(x)
             =     (x+3) (2)  +   1 (2x - 3)
             =    2x + 6 + 2x  -  3         =    4x  +  3

7)    ถ้า   y   =       จงหา     

 กำหนดให้   y =      โดยที่ f (x)=  +  5   และ  g(x) =
ดังนั้น      f ' (x)    =   3       และ    g '(x)    =    
        =    
             =      
             =        
             =         

8)       ถ้า   y   =       จงหา     
กำหนดให้                  y   =       เมื่อ     f (x)  =        +  5
 เพราะฉะนั้น        f ' (x)    =   2x
                    =     3         f ' (x)
                         =     3      f ' (x)
                         =      6 x  



ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/2-diff_algebra.htm

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์ หมายถึง    ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล การได้มาของผลภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดถือเป็นสาระสำคัญ  ข้อความหรือการให้เหตุผลในชีวิตประจำวันสามารถสร้างเป็นรูปแบบที่ชัดเจนจน ใช้ประโยชน์ในการสรุปความ  ความสมเหตุสมผลเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็นแม่บทของคณิตศาสตร์แขนงต่าง ๆ และการประยุกต์

ประพจน์ (Propositions/Statement)

   สิ่งแรกที่ต้องรู้จักในเรื่องตรรกศาสตร์คือ ประพจน์ ข้อความหรือประโยคที่มีค่าความจริง(T)หรือเท็จ(F) อย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนข้อความรูป คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สำหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่สามารถบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์ เรียกว่าประโยคเปิด
  ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน  หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ ไม่เป็นประพจน์

การเชื่อมประพจน์

     โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ  ไม่

1. ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"
          การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)      
2. ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ"
         การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) 
3. ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า…แล้ว"
         การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า…แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)   
4. ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"
         การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
5. นิเสธของประพจน์ "ไม่"
         นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p

ตารางค่าความจริง

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม พบเห็นบ่อยมากในเรื่องตรรกศาสตร์

ประพจน์ที่สมมูลกัน

           ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย 

การทดสอบว่าประพจน์ 2 ประพจน์ สมมูลกัน ทำได้ 2 วิธีคือ

1. สร้างตารางแจกแจงค่าความจริง ค่าความจริงต้องตรงกันทุกกรณี
2. โดยการใช้หลักความจริงและประพจน์ที่สมมูลกันแบบง่ยๆที่ควรจำ เพื่อแปลงรูปประพจน์ไปเป็นแบบเดียวกัน

ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้

p ∧ q     สมมูลกับ    q ∧ p

p ∨ q     สมมูลกับ    q ∨ p

(p ∧ q) ∧ r  สมมูลกับ    p ∧ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∨ r  สมมูลกับ    p ∨ (q ∨ r)

p ∧ (q ∨ r)    สมมูลกับ    (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r)   สมมูลกับ    (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

p → q   สมมูลกับ    ~p ∨ q

p → q   สมมูลกับ    ~q → ~p

p ⇔ q   สมมูลกับ    (p → q) ∧ (q → p)

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

        ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย 

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้

~(p ∧ q)   สมมูลกับ    ~p ∨ ~q

~(p ∨ q)   สมมูลกับ    ~p ∧ ~q

~(p → q)   สมมูลกับ    p ∧ ~q

~(p ⇔ q)    สมมูลกับ    (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)

~(p ⇔ q)    สมมูลกับ    (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

สัจนิรันดร์

    สัจจะ แปลว่าจริง ส่วนนิรันดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย

ประโยคเปิด (Open Sentence)

   คือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)

   ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”  ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

      ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

      ~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)]

      ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)]

      ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)]

การอ้างเหตุผล

    การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้" การอ้างเหตุผลนี้ ได้รับเลือกเป็นตัวแทนของ ข้อสอบในเรื่องตรรกศาสตร์ ให้เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่าง O-Net และ PAT1 บ่อยๆ จึงเป็นเรื่องที่สำคัญมาก

การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ

1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา

   สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ … Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล
      ตัวอย่างเช่น
    เหตุ     1. p → q
                2. p
    ผล       q


ที่มา : http://www.tewfree.com/%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99-%E0%B8%A1-4/

ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

1.       การทดลองสุ่ม
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ และถึงแม้จะทราบว่าอาจจะเกิดอะไรได้บ้าง แต่ก็ไม่สามารถควบคุมได้
เช่น การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง เป็นการทดลองสุ่ม
เนื่องจาก ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ล่วงหน้าได้ ถึงแม้ว่าจะทราบว่าผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ คือ หัว หรือ ก้อย แต่ไม่สามารถควบคุมได้

2.      แซมเปิลสเปซ
ข้อกำหนด
แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม และจะถูกเขียนแทนด้วย S

ข้อสังเกต
1. แซมเปิลสเปซเป็นเซตเสมอ
2. ในการทดลองสุ่มเดียวกัน อาจจะมีแซมเปิลสเปวได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจว่าต้องการหรือสนใจสิ่งใด

ตัวอย่างที่ 1 ในการโยนลูกเต๋าสองลูก ผลลัพธ์ที่จะเป็นไปได้จะเป็นคู่อันดับต่างไ ของลูกเต๋าลูกที่หนึ่งกับลูกเต๋าลูกที่สอง โดยที่
1. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการโยนลูกเต๋าลูกที่หนึ่ง เป็นสมาชิกตัวหน้า
2. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการโยนลูกเต๋าลูกที่สอง เป็นสมาชิกตัวหลัง
วิธีทำ   S =     { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
                         (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
                         (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
                         (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
                         (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
                         (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

ตัวอย่างที่ 2 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง เป็นการทดลองสุ่ม ถ้า
1. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้ และให้ S₁ แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้ แล้วจงหา S₁
2. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ชุดของไพ่ที่ได้ และให้ S₂ แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้ แล้วจงหา S₂

วิธีทำ            
1. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้
S₁ = {   (Aโพดำ), (Aโพแดง), (Aข้าวหลามตัด), (Aดอกจิก),
            (2โพดำ), (2โพแดง), (2ข้าวหลามตัด), (2ดอกจิก),
            (3โพดำ), (3โพแดง), (3ข้าวหลามตัด), (3ดอกจิก),
            (4โพดำ), (4โพแดง), (4ข้าวหลามตัด), (4ดอกจิก),
            (5โพดำ), (5โพแดง), (5ข้าวหลามตัด), (5ดอกจิก),
            (6โพดำ), (6โพแดง), (6ข้าวหลามตัด), (6ดอกจิก),
            (7โพดำ), (7โพแดง), (7ข้าวหลามตัด), (7ดอกจิก),
            (8โพดำ), (8โพแดง), (8ข้าวหลามตัด), (8ดอกจิก),
            (9โพดำ), (9โพแดง), (9ข้าวหลามตัด), (9ดอกจิก),
            (10โพดำ), (10โพแดง), (10ข้าวหลามตัด), (10ดอกจิก),
            (Jโพดำ), (Jโพแดง), (Jข้าวหลามตัด), (Jดอกจิก),
            (Qโพดำ), (Qโพแดง), (Qข้าวหลามตัด), (Qดอกจิก),
            (Kโพดำ), (Kโพแดง), (Kข้าวหลามตัด), (Kดอกจิก)}

2. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ชุดของไพ่ที่ได้
S₂ = { โพดำ, โพแดง, ข้าวหลามตัด, ดอกจิก }

3.      เหตุการณ์
ข้อกำหนด
เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ ซึ่งจะถูกเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ A, B, C, D, E,...

ข้อสังเกต
1. เหตุการณ์เป็นเซตเสมอ
2. เนื่องจากจำนวนสับเซตของ S ทั้งหมดมีได้เท่ากับ 2^n(S)

ตัวอย่างที่ 3 ในการโยนลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจคือแต้มที่ได้ จงหา
1. แซมเปิลสเปซ
2. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคี่
3. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคู่
4. เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว
5. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นอย่างน้อย 3
6. เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4
วิธีทำ  
1. ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ แล้ว S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2. ถ้า E₁ เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคี่ แล้ว E₁ = {1, 3, 5 }
3. ถ้า E₂ เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคู่ แล้ว E₂ = { 2, 4, 6 }
4. ถ้า E₃ เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว แล้ว E₃ = { 3, 6 }
5. ถ้า E₄ เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นอย่างน้อย 3 แล้ว E₄ ={ 3, 4, 5, 6 }
6. ถ้า E₅ เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4 แล้ว E₅ = { 1, 2, 3 }

4.      การกระทำระหว่างเหตุการณ์
เหตุการณ์สามารถกระทำกันได้ด้วยตัวกระทำของเซต คือ ยูเนียน (Union), อินเตอร์เซกชัน (Intersection), ผลต่าง (Difference) และคอมพลีเมนต์ (Complement) แล้วทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ดังนี้

4.1 ยูเนียนของเหตุกาณ์ (Union of events)
ข้อกำหนด      ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว
E₁ Union E₂ คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ E₁ หรือเหตุการณ์ของ
E₂ หรือทั้งสองเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 4 ในการทอดลูกเต๋าพร้อมกันสองลูก ถ้า E₁ เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน และ E₂ เป็นเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 6 ลงตัว จงหายูเนียนของเหตุการณ์ E₁ และ E₂
วิธีทำ  เราจะพบว่า แซมเปิลสเปซที่เป็นเซตที่ประกอบด้วยผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมด คือ
S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
จากโจทย์ จะได้ E₁ = { 3 }
และ                        E₂ = { 6, 12 }
ดังนั้น                      E₁ Union E₂ = { 3, 6, 12 }


4.2 อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ (Intersection of events)
ข้อกำหนด       ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว
E₁ Intersection E₂ คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเหตุการณ์


ตัวอย่างที่ 5 ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง ถ้า E₁ เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน และ E₂ เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 10 จงหาอินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E₁ และ E₂
วิธีทำ  จากโจทย์ เราจะได้ S= { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
                   E₁ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }
และ              E₂ = { (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
ดังนั้น            E₁ Intersection E₂ = { (5, 5), 6, 6) }

4.3 ผลต่างของเหตุการณ์ (Difference of events)
ข้อกำหนด      ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว
E₁ - E₂ คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเหตุการณ์ E₁ แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E₂

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
                             E₁ = { 1, 3, 5 }
 และ                       E₂ = { 2, 3, 4, 5, 6 }
จงหา             1.  E₁ - E₂                 2. E₂ - E₁
วิธีทำ  
1. E₁ - E₂ = { 1, 3, 5 } -  { 2, 3, 4, 5, 6 } = { 1 }
2. E₂ - E₁ = { 2, 3, 4, 5, 6 } - { 1, 3, 5 } = { 2, 4, 6 }

4.4 คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of events)
ข้อกำหนด      ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S แล้ว
E’ คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E

ตัวอย่างที่ 7 เลือกจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน จากจำนวน 1, 2, 3,…, 10 ถ้า E₁ เป็นเหตุการณ์ที่ได้จำนวนที่หารด้วย 4 ลงตัว และ E₂ เป็นเหตุการณ์ที่ได้จำนวนที่ถอดรากที่สองแล้วได้จำนวนเต็มแล้ว จงหา E₁’ และ E₂’
วิธีทำ            E₁ = { 4, 8 }
E₂ = { 4, 9 }

ดังนั้น E₁’ = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 }
และ E₂’ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}

ที่มา : http://www.scimath.org/index.php/socialnetwork/groups/viewbulletin/893-6+%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99?groupid=193

การให้เหตุผล

วันนี้เรามาเรียนเรื่อง การให้เหตุผล ซึ่งเป็นเรื่องแรกๆที่น้องๆที่ขึ้น ชั้น ม.4 จะได้เรียนกัน บางครั้งน้องหลายคนก็มองว่า การให้เหตุผล ไม่ค่อยจะนับว่าเป็นคณิตศาสตร์เท่าไหร่ แต่จริงๆแล้ว การให้เหตุผลในทางคณิตศาสตร์นั้น จะไม่ได้ใช้หลักการให้เหตุผลโดยอารมณ์หรือมุมมองตามที่คนส่วนมากใช้กัน แต่จะใช้หลักการของตรรกศาสตร์ เข้ามาช่วยวิเคราะห์ว่า เหตุและผลที่นำมาพูดถึงนี้ ทางคณิตศาสตร์นับว่าเป็นความจริง หรือไม่ อย่างไร

การให้เหตุผลคืออะไร

    การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (หรือการอ้างเหตุผล) คือ กระบวนการคิดของมนุษย์ และสื่อความหมายกับผู้อื่นด้วยภาษา ซึ่งประกอบด้วยข้อความ หรือประโยคกลุ่มหนึ่งที่ยกขึ้นมาเพื่อสนับสนุนให้ได้ข้อความ หรือประโยคตามมา มักจะแสดงในส่วนของ เหตุ เราเรียกข้อความกลุ่มแรกนี้ว่า ข้ออ้าง (Premisses) และข้อความอีกชุดหนึ่งที่แสดงในส่วนของ ผล จะถูกเรียกว่า ข้อสรุป (Conclusion)
  เช่น    เหตุ    ช้างเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
                      สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมต้องกินอาหาร      (เรียกว่า ข้ออ้าง)
            ผล      ช้างต้องกินอาหาร                            (เรียกว่า ข้อสรุป)
    ข้อความแต่ละข้อความของการให้เหตุผล จะอยู่ในรุปข้อความที่แสดงความคิดเห็น เพื่อเป็นการยืนยัน หรือปฎิเสธ ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง

การให้เหตุผลแบ่งออกเป็นสองแบบคือ

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

    นิยาม:   การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปในการค้นคว้าความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆแล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป
   เป็นการให้เหตุผลโดยใช้ข้อสังเกตุ ผลการทดลองย่อย หรือความจริงส่วนย่อยที่พบเห็น มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป รวมไปถึงคำพยากรณ์ด้วย การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยวิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นจะต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลจากข้อเท็จจริงที่มีอยู่ โดยข้อสรุปที่ได้จะมีความถูกต้องมากเท่าใดนั้นก็จะขึ้นอยู่กับสามอย่างต่อไปนี้

1. จำนวนข้อมูล ที่มากเพียงพอต่อการสรุปความ
2. ข้อมูลหลักฐาน ที่ได้นำมาให้เหตุผลนั้น เป็นตัวแทนที่ดีหรือไม่
3. ความซับซ้อนของข้อสรุปที่ต้องการ

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

     เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม  ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป

การให้เหตุผลแบบอุปนัย ต่างจาก การให้เหตุผลแบบนิรนัย อย่างไร

     การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง  นั่นคือ  จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้  แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย  จะให้ความน่าจะเป็น

ที่มา : http://www.tewfree.com/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%83%E0%B8%AB%E0%B9%89%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%95%E0%B8%B8%E0%B8%9C%E0%B8%A5-%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C/

ลำดับเลขคณิต( Arithmetic Sequence )

    ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต( Arithmetic Sequence ) คือลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จาก พจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่าผลต่างร่วม (Common Difference ) แทนด้วยสัญลักษณ์ d
จากความหมายของลำดับเลขคณิต ค่าของ d = an+1 - an , n = 1,2,3, ….. หรือ an+1 = an + d
นั่นคือ ถ้าพจน์ที่1 คือ a1 
พจน์ที่ 2 คือ a2 = a1+ d
พจน์ที่ 3 คือ a3= a2+ d = ( a1+ d ) + d = a1+ 2d
พจน์ที่ 4 คือ a4= a3+ d = ( a1+ 2d ) + d = a1+ 3d
พจน์ที่ 5 คือ a5= a4+ d = ( a1+ 3d ) + d = a1+ 4d
     . 
     .
     .
     .
พจน์ที่ n คือ a n = + d = a1+ ( n – 1 )d 

สรุป a n = a1+ ( n – 1 )d คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลข คณิต 
ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 ) กับ ผลต่างร่วม (d )

ตัวอย่างที่1 จงเขียนลำดับเลขคณิตที่กำหนดค่า a1 และ d ให้ดัง ต่อไปนี้แบบแจกแจงพจน์ 5 พจน์แรก

1.1 a1 = 8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ 8,5,2,-1,-4

1.2 a1 = 8 และ d = 3 ได้ลำดับคือ 8, 11, 14,17 , 20

1.3 a1 = -8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ - 8,-11, -14,-17,-20

ตัวอย่างที่2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตต่อนี้ ( a n )

2.1 6,2,-2,-6,-10,…..

วิธีทำ       จากสูตร           a n = a1+ ( n – 1 )d

                  จะได้              a n = 6+(n-1)(-4)

                  ดังนั้น               an = 10 - 4n

2.2 -10, -6,-2,2,6…..

วิธีทำ       จากสูตร      a n = a1+ ( n – 1 )d

               จะได้           a n = -10+(n-1)4

              ดังนั้น            an = -14 + 4n

ตัวอย่างที่3 จงหาพจน์ที่ 10 และ พจน์ที่ 12 ของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,-10,…..

วิธีทำ       จากสูตร  a n = a1+ ( n – 1 )d

        ได้   a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n

       ดังนั้ a 10 = 10 - 4(10) = 10 - 40 = - 30

               a 12 = 10 - 4 ( 12 ) = 10 - 48 = - 38

  

ที่มา : http://202.28.94.55/web/322103/2551/work1/g218/(%20Arithmetic%20Sequence%20).html